Министерство науки и ВЫСШЕГО образования Российской Федерации

___________________________________________________________

Национальный Исследовательский Университет «МЭИ»

___________________________________________________________

 

 

 

 

В.И. киселев

Э.В. кузнецов

Е.А. Куликова

 

 

 

 

 

 

 

практические занятия по дисциплине

электротехника и электроника

 

Учебное пособие

 

 

Для студентов, обучающихся по направлениям «Машиностроение», «Механотроника и робототехника», «Прикладная механика», «Теплоэнергетика и теплотехника», «Энергетическое машиностроение», «Ядерная энергетика и теплофизика»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Москва

Издательство МЭИ

2019

 

Содержание

Часть 1. Электрические цепи. 5

Занятие 1.3. Однофазные цепи синусоидального тока. 27

1. Понятие о схеме замещения цепи синусоидального тока. 27

2. Основные уравнения состояния для однофазной цепи. 29

3. Переходы от оригинала к изображению.. 31

4. Справка по вычислениям с комплексными числами. 34

5. Переходы от комплексного изображения к мгновенному значению.. 35

Занятие 1.4. Однофазные цепи синусоидального тока (продолжение) 36

1. Однофазная цепь с последовательным соединением приемников. 36

2. Однофазная цепь с параллельным соединением. 40

Занятие 1.5. Трехфазные цепи. 42

1. Понятия о трехфазных цепях. 42

2. Схема замещения трехфазного источника. 43

3. Схема соединения приемников «четырехпроводная звезда». 44

Занятие 1.6. Трехфазные цепи (продолжение) 47

1. Схема соединения трехфазных приемников «трехпроводная звезда»  47

2. Схема соединения приемников «треугольник». 50

3. Мощности приемников в трехфазных цепях. 52

Ответы к заданиям. 117

Список рекомендованной литературы.. 121

 

 

 

Часть 1. Электрические цепи

Занятие 1.3. Однофазные цепи синусоидального тока

1. Понятие о схеме замещения цепи синусоидального тока

 

Однофазными называют цепи синусоидального тока, содержащие один источник электрической энергии, напряжение которого изменяется во времени по синусоиде ([1], глава 2). Если все элементы цепи с таким источником линейные, то все токи и напряжения будут синусоидальными. При этом потери электрической энергии оказываются минимальными по сравнению с источниками другой формы колебаний. Синусоидальная форма колебаний является частным случаем форм переменных токов и напряжений.

Переменные токи и напряжения вызывают новые по сравнению с цепями постоянного тока явления, – электромагнитную индукцию и токи смещения. Для эффективного использования этих явлений в цепь переменного тока включают индуктивные катушки, трансформаторы, конденсаторы. Они сконструированы таким образом, чтобы переменные магнитные и электрические поля были в основном локализованы в корпусах этих элементов. Элементы в цепи переменного тока соединяются проводами, как в цепи постоянного тока. Поэтому удалось ввести понятие о цепи переменного тока, оперировать схемами замещения, токами и напряжениями для описания и анализа свойств таких цепей.

Схема замещения цепи синусоидального тока ([1], 2.2, 2.3) строится из идеальных источников (ЭДС e(t) и тока j(t)) и пассивных элементов резистивного – R, емкостного – C и индуктивного – L (рис.1.3.1).

Замечание. В электротехнике принято строчными буквами обозначать величины, зависящие от времени, и прописными, независимыми от него.

При описании свойств элементов принимается система условно-положительных направлений стрелок, приведенных на рисунке.

1	2	3	4	5
Рис.1.3.1. Элементы схемы замещения однофазных цепей. Идеальные источники: ЭДС (1) и тока (2). Идеальные приемники: резистор R (3), конденсатор C (4), индуктивная катушка L (5)

 

Если электрическая цепь имеет размеры значительно меньше длины волны электромагнитных колебаний, соответствующих частоте источника ЭДС, то она может быть описана как цепь с локальными параметрам. Так для частоты f = 50 Гц длина волны равна

 км,

здесь С – скорость света. Отсюда следует, что электрическая сеть города может анализироваться теми же методами, что электрическая сеть предприятия.

2. Основные уравнения состояния для однофазной цепи

 

Система уравнений состояния схемы замещения линейной однофазной цепи содержит узловые и контурные по законам Кирхгофа, а также компонентные уравнения для мгновенных значений токов и напряжений в каждый момент времени:

	(1.3.1)
	(1.3.2)
; ; ; .	(1.3.3)

В уравнениях знаки величин токов и напряжения определяются системой  стрелок, которая устанавливается на схеме цепи, аналогично цепям постоянного тока.

Уравнения (1.3.1) – (1.3.3) дают возможность составить систему интегро-дифференциальных уравнений для заданной схемы замещения, необходимую и достаточную для расчета всех токов при известных параметрах элементов. Однако, расчеты будут представлять большие трудности. Существенным упрощением можно преобразовать уравнения в тригонометрическую форму, учитывая, что при одной ЭДС все токи синусоидальны.

Если цепь содержит k ветвей c элементами и одну ЭДС

,

то в качестве неизвестных в системе уравнений будет k синусоидальных тока

.

Искомыми величинами будут для каждого тока две величины, – амплитуда I_km и начальная фаза Ψ_ik. Для их определения понадобятся 2k уравнений, например в два выбранных момента времени. Для решения такой системы уравнений был разработан метод комплексных величин (символический метод), который позволяет существенно упростить составление и решения системы с линейными алгебраическими уравнениями.

Суть метода заключается в том, что ЭДС, напряжения и токи представляются комплексными величинами по простому правилу: гармоническая функция

где  – угловая частота, представляется ее изображением в виде комплексной амплитуды

.

Соотношение между оригиналом и изображением можно представить двусторонним символом, так как оно справедливо в любом направлении ([1], 2.4):

(1.3.4)

– здесь множитель , – мнимая единица.

Узловое уравнение (1.3.1) представляется его изображением для комплексных токов:

.

(1.3.5)

Контурное уравнение (1.3.2) представляется его изображением для комплексных напряжений:

.

(1.3.6)

Компонентные уравнения (1.3.3), соответственно, получают изображения:

; ; ; .

(1.3.7)

Отсюда следуют комплексные сопротивления и закон Ома:

; ; ; .

(1.3.8)

Сопоставляя уравнения для цепей постоянного тока (1.2.1) – (1.2.5) и для однофазных цепей (1.3.5) – (1.3.8) можно сделать вывод, что они подобные. Отличие заключается в том, что первые – алгебраические уравнения для действительных величин, а вторые – для комплексных величин. Поэтому все методы расчетов, рассмотренных для цепей постоянного тока, применимы для однофазных цепей.

Для наглядного представления комплексных величин часто используются векторные и потенциальные диаграммы на комплексной плоскости.

Комплексные токи и напряжения, найденные в расчетах, позволяют найти по соотношению (1.3.4) параметры их мгновенных значений: амплитуду

,

начальную фазу

.

Соответствующее мгновенное значение имеет вид

.

3. Переходы от оригинала к изображению

 

Задача 1.3.1.

Рассмотрим пример получения комплексных амплитуд для заданных осциллограммами мгновенных ЭДС, тока и напряжения на рис.1.3.2.

Рис.1.3.2. Графики ЭДС e(t), тока i(t) и напряжения u(t)

 

Заданные функции в общей форме имеют вид

.

По графикам найдем значения трех параметров: амплитуду A_m, угловую частоту ω и начальную фазу y_a.

Амплитуда равна наибольшему значению функции (дистанция по ординате от нулевого уровня до соответствующего максимального значения): E_m = 100 В (точка C на графике), I_m = 20 А, U_m = 50 В.

Угловая частота ω связана с частотой колебаний f выражением

.

Частота f определяется периодом колебаний T:

 

Периодом колебания называют интервал времени повторения, через который колебания повторяются. На рис. 1.3.2. для всех кривых интервал наблюдения Δt = 20 мс и он равен периоду T = 20 мс.

Если задан интервал наблюдения не кратный периоду, то надо выбрать на графике интервал времени между соседними нулевыми значениями функции. Так для функции e(t) такой интервал между точками A и B равен

 мс.

Период равен

 мс.

Таким образом получаем

.

Начальная фаза определяется следующим способом. Сначала дополним графики рис.1.3.2. кривыми на интервале времени (–Т/2...0) как на рис.1.3.3.

Рис.1.3.3. Исходные графики, дополненные интервалом (-T/2...0). A, B, C – узловые точки синусоид для определения их начальных фаз.

 

Далее выберем на кривых точки с нулевым значением функций, в которых меняется их знак c “–” на “+” при увеличении времени. Отдадим предпочтения точкам, которые будут ближе к t = 0. Таким требованиям отвечают точки A, B и С, соответственно, при t_A = –6,7 мс, t_B = –3,3 мс и t_С = 5 мс. Эти значения определяют угловые смещения синусоид относительно начала координат t = 0. Смещение влево точки A означает опережение этой синусоидой e(t) синусоиды с нулевой начальной фазой и выражается положительным значением

.

Аналогично для синусоиды i(t):

.

Синусоида u(t) сдвинута вправо относительно начала координат и называется отстающей против функции с нулевой начальной фазой. Поэтому Ψ_U < 0:

.

Полученные параметры синусоид дают выражения для функций:

В;  А;  В.

(1.3.9)

Отсюда и из выражения (1.З.4) следуют комплексные амплитуды в показательной форме:

В;  А;  В.

(1.3.10)

Для измерений и расчетов в электротехнике для цепей синусоидального тока обычно используются не амплитудные (E_m, I_m, U_m), а действующие значения ЭДС, токов и напряжений (E, I, U). Действующие значения определятся как среднеквадратичное значение за период. Для синусоидальной функции есть простое соотношение для действующих и амплитудных значений:

.

Это положение сохраняется и для комплексных величин.

В цепях с синусоидальными токами одной частоты используют понятия о мощности

- «мгновенную мощность» элемента цепи p(t), равную произведению мгновенного напряжения на элементе u(t) и мгновенного тока элемента i(t):

;

- «полную комплексную мощность» S, равную произведения комплексного действующего напряжения на элементе U и сопряженного комплексного действующего тока элемента I^*:

, В∙А;

(1.3.11)

- «полную мощность», как модуль полной комплексной мощности:

;

- «активную мощность» P, как действительную часть полной комплексной мощности:

, (Вт);

(1.3.12)

- «реактивную мощность» Q, как мнимую часть полной комплексной мощности:

, (вар).

(1.3.13)

По закону сохранения энергии сумма полных комплексных мощностей всех источников должна быть равна сумме полных комплексных мощностей всех приемников!

Для наглядного представления комплексных величин используется векторная диаграмма на комплексной плоскости. На рис.1.3.4а изображен вектор ЭДС E из выражения (1.3.10). Сначала строятся ортогональные оси комплексной плоскости и отмечаются положительные полуоси ортами +1 (действительных значений) и +j (мнимых значений). Затем по значению аргумента комплексной величины y_E определяется угловое положение вектора относительно оси +1 против часовой стрелки, так как y_E > 0 (рис.1.3.4а). Eсли аргумент y < 0, – то по часовой стрелке (для U на рис.1.3.4б). Далее в выбранном масштабе строится вектор, длина которого равна модулю комплексной величины.

а)	б)	в)
Рис.1.3.4. Векторные диаграммы на комплексной плоскости для векторов: E, I, U

4. Справка по вычислениям с комплексными числами      

 

Показательная форма комплексных чисел удобна для умножения и деления. Например, для  и :

	(1.3.14)
	(1.3.15)

Другая форма комплексного числа, – алгебраическая, удобная для сложения и вычитания. Она получается по формуле Эйлера в виде суммы действительной a и мнимой b частей:

.

(1.3.16)

Это соотношение следует так же из рис.1.3.4в.

Например, для  и :

.

(1.3.17)

Обратный переход из алгебраической формы в показательную получают таким образом.

Модуль комплексного числа находят из выражения:

.

(1.3.18)

Для определения аргумента комплексного числа необходимо построить его вектор на комплексной плоскости, используя его действительную и мнимую части. На рис.1.3.4в приведен пример для вектора E. Находим дополнительный угол

и аргумент . В других случаях, например для I, получится .

Вычисления с комплексными числами существенно упрощаются с помощью специальных инженерных калькуляторов или программ, например, MathCAD или Wise Calculator. Для работы на мобильных девайсах можно найти онлайн-калькуляторы, например, программы: Math.semestr.ru/math/complex.php или toeportal.ru/calc/complex.

5. Переходы от комплексного изображения к мгновенному значению

 

После расчета токов в цепи по заданным ее схеме замещения и параметрам элементов, которые будут рассмотрены на следующем занятии, могут потребоваться мгновенные токи и напряжения. Для этой простой процедуры используется соотношение (1.3.4) справа - налево. При этом в окончательных выражениях желательно минимизировать значения начальных фаз, с учетом периодичности гармонических функций.

 

Задание 1.3.1.

Решить самостоятельно один вариант N_VAR задания (рис.1.3.5), определив его по номеру в списке группы M: (см. (1.1.1), табл.1.1.2). ЭДС и напряжение – В, ток – А, время – с. Найти комплексное действующее значение

 

Рис.1.3.5. Осциллограммы к заданию 1.3.1.

 

Задание 1.3.2. Решить самостоятельно один вариант N_VAR задания (табл.1.3.1),

Таблица 1.3.1. К заданию 1.3.2.

№ варианта	1	2	3	4
Комплексная величина	, А	, В	, В	, А

Занятие 1.4. Однофазные цепи синусоидального тока (продолжение)

1. Однофазная цепь с последовательным соединением приемников

 

Рассмотрим задачу расчету тока в цепи с последовательным соединением ([1], 2.8) источника ЭДС , резистора R = 10 Ом, индуктивной катушки L = 100 мГн и конденсатора C = 100 мкФ при частоте f = 50 Гц (схема на рис.1.4.1а). Требуется найти комплексные и мгновенные ток и напряжения на элементах, построить векторные диаграммы тока и напряжений и потенциальную диаграмму на комплексной плоскости.

 

Перед расчетами необходимо на схеме разместить стрелки токов и напряжений с условно-положительными направлениями, которые необходимы для однозначной записи уравнений состояния.

Затем следует перевести исходные данные в комплексные значения. Действующее комплексное значение ЭДС равно

 В.

Угловая частота

 рад/c.

Комплексные сопротивления элементов:

 Ом;

 Ом;

 Ом.

Определяем комплексное эквивалентное сопротивление цепи относительно полюсов источника ЭДС:

 Ом.

Комплексный действующий ток:

 А.

Комплексные напряжения на элементах цепи:

 В;

 В;

В.

Мгновенные действующие ток и напряжения:

 А;

 В;

 В;

 В.

Векторные диаграммы (рис.1.4.2а) на комплексной плоскости удобно строить использую показательную форму значения режимного параметра. Векторные диаграммы играют в основном вспомогательную роль. Если они не используются для вычислений, то можно ограничиться примерным соотношением длин векторов и углового их положения. Построение начинается с вектора тока I. Далее строятся векторы напряжений с наибольшей длиной U_С и U_L. Вектор U_С имеет отрицательный аргумент -90^°, он направлен вниз, «отстает от вектора тока I». Вектор U_L «из точки 0 и опережает вектор тока I». Направление вектора U_R  «совпадает с вектором тока I». Эти наглядные результаты являются достаточно надежным критерием для проверки результатов расчета.

а)	б)
Рис.1.4.2 Векторная диаграмма и напряжений (а) и потенциальная диаграмма (б) на комплексной плоскости

 

Потенциальная диаграмма на комплексной плоскости (рис.1.4.2б) дает бóльшие возможности для анализа результатов расчетов. Она строится в следующем порядке. В схеме выбирается узел, которому присваивается нулевой потенциал (точка b на рис. 1.4.1). Построение начинается с вектора тока. Далее обходят контур цепи против часовой стрелки, начиная с точки b. Строится вектор напряжения U_С из точки b. Конец вектора U_С обозначим индексом d, так как положение этой точки определяется комплексным потенциалом точки d. Далее в последовательности обхода строится из точки d вектор U_L и получается на диаграмме точка с, из которой строится вектор U_R. Конец его определяет точку a. Вектор входного напряжения U должен соединить точки b и a, как и на векторной диаграмме. Завершается диаграмма вектором входного напряжения или ЭДС источника. Угловое положение векторов напряжения относительно вектора тока совпадает с положением на векторной диаграмме.

В рассмотренном примере цепь имеет практически режим резонанса напряжений, при котором сумма напряжений

, ,

и возможно .

На потенциальной диаграмме напряжение . Ток и напряжения достигают максимально возможного значения. Возможно, что амплитуда напряжения и ток реактивных элементов (L и С) могут превысить допустимые значения для элементов цепи.

Задание 1.4.1. Решить самостоятельно один вариант N_VAR задания по номеру в списке M: (см. (1.1.1), табл.1.1.2). Схемы приведены на рис.1.4.1, данные в табл.1.4.1.

Рис. 1.4.3. К заданию 1.4.1.

 

При напряжении U_inp =10 В найти ток в цепи, напряжения на элементах и U_out, построить потенциальную диаграмму на комплексной плоскости.

Таблица 1.4.1.

2. Однофазная цепь с параллельным соединением

 

В однофазных цепях часто используются параллельные соединения ([1], 2.10) ветвей (рис.1.4.4) или элементов.

 

Рис.1.4.4. Однофазная цепь с параллельным соединением ветвей

Задача 1.4.2.

В схеме на рис.1.4.4 входное напряжение U создается источником ЭДС E = 200 В. Ветви содержат последовательно соединенные элементы с комплексными сопротивлениями Z_R1 = R₁, Z_L = jX_L и Z_R2 = R₂, Z_С = -jX_С; R₁ = R₂ = X_L = X_С = 10 Ом. Требуется найти напряжение U_cd и построить векторную диаграмму токов и потенциальную диаграмму при заданном комплексном потенциале V_b = 0 точки b.

Решение задачи начинаем с определения эквивалентных сопротивлений ветвей:

 Ом;

 Ом.

Напряжение на каждой ветви равно U = E = 10 В. Поэтому комплексные токи равны:

  

Ток источника равен

 А.

Для расчета напряжение U_cd запишем контурное уравнение для контура cdb при обходе по часовой стрелке:

.

Отсюда следует:

Для построения потенциальной диаграммы определим потенциалы точек c, d и a при V_b = 0:

 В,

 В,

 В.

Рис.1.4.5. Векторная диаграмма токов и потенциальная диаграмма

Построение векторной и потенциальной диаграмм (рис.1.4.5) начинается с векторов входного напряжения U и токов I₁, I₂ и I из начала координат комплексной плоскости. Вектор тока в индуктивной ветви I₁ должен отставать от  вектора U , а в емкостной ветви I₂ опережать от него. Вектор тока I не имеет мнимой составляющей, как и вектор U. Поэтому они совпадают по направлению.

Затем строятся векторы напряжений на элементах ветвей U_L, U_r1 и U_C, U_r2. Векторы напряжений на резисторах должны быть коллинеарны, а на реактивных элементах ортогональны векторам соответствующих токов. Сумма векторов напряжений на элементах каждой ветви равна вектору U = U_ab. Выполнение всех этих требований подтверждает правильность расчетов. Обратите внимание на направление стрелок напряжения на схемах от первого индекса ко второму (например, для U_ab от a к b) и на потенциальной диаграмме от второго индекса к первому (от b к a).

 

Задание 1.4.2. Решить самостоятельно один вариант N_VAR задания по номеру в списке группы M: (см. (1.1.1), табл.1.1.2). Схемы приведены на рис.1.4.6, данные в табл.1.4.2.

Таблица 1.4.2. К заданию 1.4.2.

          

Рис.1.4.6. К заданию 1.4.2.

Занятие 1.5. Трехфазные цепи

1. Понятия о трехфазных цепях

 

Трехфазные цепи ([1], Глава 3) являются основой электрического энергоснабжения. Генерация электрической энергии происходит в трехфазных источниках, содержащих три источника синусоидальных ЭДС с одинаковыми частотами (50 – 60 Гц) и амплитудами и с разными начальными фазами, которые отличаются на 120°. Электрическая энергия поступает к потребителям через четырех- и трёхпроводные сети и преобразовательные трансформаторные устройства. Приемники электрической энергии могут быть трехфазными и однофазными.

Схемы замещения трехфазных цепей содержат все элементы однофазных цепей. Основные уравнения состояния однофазной цепи и методы расчетов остаются справедливыми для трехфазных цепей.

2. Схема замещения трехфазного источника

 

Большинство трехфазных источников (ТИ) можно представить ([1], 3.2) схемой «четырехпроводная звезда» (рис.1.5.1а). В составе ТИ включены три синусоидальных источника ЭДС (e_A(t), e_B(t), e_C(t)), объединенных одноименными полюсами в точке N. Для трехфазных цепей установлены термины «фазные напряжения» (u_A(t), u_B(t), u_C(t)), которые соответственно равны фазным ЭДС, и «линейные напряжения»:

;

;

.

Фазные ЭДС зависят от времени:

; ; .

(1.5.1)

Если принять , то:

; ; .

(1.5.2)

Для анализа трехфазных цепей используют метод комплексных величин. На рис.1.5.1б приведена схема замещения трехфазного источника с действующими комплексными ЭДС (). Действующие комплексные ЭДС и напряжения равны:

; ; .

; ; .

; ; .			(1.5.3)
а)	б)	в)
Рис.1.5.2. Схемы замещения трехфазного источника: для мгновенных значений (а) и для комплексных значений (б), потенциальная диаграмма с векторами фазных (совпадают с ЭДС) и линейными напряжениями

Из 1.5.3 следует, что действующие (модули комплексных величин) значения линейного U и фазного U_ф напряжений связаны выражением

.

Например: 380 В и 220 В, 220 В и 127 В.

3. Схема соединения приемников «четырехпроводная звезда»

        

Рис.1.5.3. Схема включения трехфазного приемника в «четырехпроводную звезду»

Пример схемы «четырехпроводная звезда» ([1], 3.4) на рис.1.5.3 содержит схему включения трехфазного асинхронного двигателя к трехфазному источнику. В каждую фазу включена секция обмотки с одинаковыми активными сопротивлениями R и одинаковыми индуктивными сопротивлениями X_L. При этом

и такой приемник энергии называется трехфазным.

В этой схеме три линейных провода Aa, Bb и Сс соединяют фазы источника и приемника. Четвертый провод Nn называется нейтральным проводом. Он обычно имеет нулевой потенциал, так как заземлен. Так как напряжение U_nN = 0, то комплексные напряжения на фазах приемника и источника, соответственно, равны:

; ; .

Комплексные ЭДС источников в нормальных режимах не зависят от схемы и параметров приемников. Комплексное сопротивление фазы приемника равно . Поэтому фазные напряжения приемника известны и комплексные фазные токи равны:

; ; .

(1.5.4)

Ток в нейтральном проводе равен сумме фазных токов:

.

(1.5.5)

Например при  В и  Ом из (1.5.4) получим:

А; А; А.

(1.5.6)

а)	б)
Рис. 1.5.4. Потенциальная и векторная диаграммы для четырехпроводной звезды. Трехфазный приемник (а), однофазные приемники в трехфазной сети (б)

На рис.1.5.4а приведена потенциальная диаграммы и векторная диаграммы токов для значений (1.5.6). Режим, при котором диаграмма токов представляет симметричную фигуру из-за равенства комплексных сопротивлений , называют симметричным.

 

Четырехпроводная схема приемников применяется также для однофазных бытовых потребителей по принципу «одна квартира – одна фаза». Современная розетка имеет три контакта (два гнезда: фаза и нейтральный провод, контакт для присоединения местного заземления с защитной клеммой приемника). В этом случае сопротивления фаз практически редко равны и режим работы не будет симметричным.

Рис. 1.5.5. Пример схемы включения однофазных приемников в «четырехпроводную звезду»

 Рассмотрим общий случай не симметричного режима для схемы на рис.1.5.5. В этой схеме комплексные фазные напряжения, как и в схеме на рис.1.5.3, равны соответствующим комплексным фазным ЭДС. Однако в расчетах комплексных токов надо учитывать, что комплексные сопротивления разные: , , . Положим, E_Ф = 220 В, R = X_L = X_C = 100 Ом, тогда токи равны:

 А;

 А;

 А.

 А.

 

 

Задание 1.5.1. Решить самостоятельно один вариант N_VAR задания по номеру в списке группы M: (см. (1.1.1), табл.1.1.2). Схемы приведены на рис.1.5.6, данные – в табл.1.4.2. Действующее линейное напряжение U = 380 В. Определить ток в нейтральном проводе при замкнутом (1) и разомкнутом (0) ключе К. Построить векторную диаграмму.

 

Рис.1.5.6. К заданию 1.5.1.

 

Таблица 1.5.1. К заданию 1.5.1.

Занятие 1.6. Трехфазные цепи (продолжение)

1. Схема соединения трехфазных приемников «трехпроводная звезда»

 

В рассмотренной схеме «четырехпроводная звезда» (Занятие 1.5) с трехфазными приемниками ток I_nN = 0. Поэтому нейтральный провод можно исключить и фазные токи не изменятся. Получится схема «трехпроводная звезда» ([1], с.146-148). Она используется исключительно для трехфазных приемников, то есть при равенстве сопротивлений в фазах (симметричный режим) трехфазного приемника (рис.1.6.1а).

Однако в ряде случаев может возникнуть в схеме «четырехпроводная звезда» с однофазными приемниками аварийный режим, вызванный обрывом нейтрального провода, и возникнет схема «трехпроводная звезда» в несимметричном режиме. В других случаях такой режим может появиться в схеме «трехпроводная звезда» из-за повреждения трехфазного приемника в одной или двух фазах.

Ниже представлен порядок расчета токов и напряжений в схеме соединения «трехпроводная звезда» при несимметричном приемнике, когда не выполняется равенство фазных сопротивлений .

В отсутствии нейтрального провода появляется напряжение смещения нейтрали U_nN, которое определяется по формуле (1.2.12) для комплексных фазных ЭДС и фазных проводимостей:

,

(1.6.1)

где

; ; .

Вычисленное значение U_nN позволяет найти фазные напряжения приемника:

; ; .

(1.6.2)

Далее определяются комплексные фазные токи приемника:

; ; .

(1.6.3)

Выражения (1.6.1) – (1.6.3) позволяют выявить зависимости тока любой фазы от сопротивления всех фаз.

 

Задача 1.6.1.

Рассмотрим аварийные режимы, связанные с коротким замыканием и обрывом фазы трехфазного (симметричного) приемника, включенного по схеме трехпроводная звезда на рис.1.6.1а при исходных данных  В,  В,  В,  Ом.

а)	б)
Рис.1.6.1. Исходная схема трехпроводная звезда с трехфазным приемником (а), UnN = 0 и короткое замыкание в фазе a трехфазного приемника (б)

 

Допустим, произошло короткое замыкание в фазе a. Этому эквивалентно Z_a = 0 и Y_a = ∞. Тогда из (1.6.1) и (1.6.2) следуют:

;

; ; .

(1.6.4)

Соответствующая потенциальная диаграмма приведена на рис.1.6.2а.

Напряжения на двух фазах b и c увеличилось от E_ф до линейного

 В.

Фазные токи I_b и I_c равны:

 А,

 А.

Соответственно, токи также увеличились в  раз. Ток в фазе а будет равен сумме

 А.

и будет больше прежнего 3 раза.

а)	б)	в)
Рис.1.6.2. Потенциальные диаграммы и векторные диаграммы токов для трехфазного приемника в трехпроводной звезде: (а) – для нормальном режима (схема на рис.1.6.1а); (б) – для аварийного режима при КЗ в фазе a (схема на рис.1.6.1б); (в) – для аварийного режима при обрыве в фазе a

 

Другой аварийный режим – обрыв фазы а – наступает при бесконечном сопротивлении участка цепи на рис.1.6.1а между точками a и n, при этом Z_a = ∞ и Y_a = 0. В этом случае:

(1.6.5)

Отсюда следует:

В;  В.

(1.6.6)

где  В – линейное напряжение.

Топографическая диаграмма и диаграмма токов приведены на рис.1.6.2в.

В итоге ток I_a = 0. Действующие значения токов

 А.

В нормальном режиме фазные токи были равны  А. Таким образом в фазах b и c токи уменьшаются на 13%.

         Активная мощность трехфазного приемника равна сумме мощностей фаз. В нормальном режиме она равна:

 Вт.

В аварийном режиме остается две фазы с токами I_ф.авар = 1,905 А и суммарная мощность равна:

 Вт.

Таким образом, мощность трехфазного приемника снизится в 2 раза.

2. Схема соединения приемников «треугольник»

 

Схема «треугольник» ([1], 3.6) представлена схема замещения на рис.1.6.3а. В этой схеме не используется нейтральный провод трехфазного источника. Из схемы следует, что, соответственно, напряжения U_ab, U_bc, U_ca на фазных приемниках Z_ab, Z_bc, Z_ca равны линейным напряжениям трехфазного источника U_AB, U_BC, U_CA.

	IA   EA
а)	б)
Рис.1.6.3. Схемы замещения трехфазной цепи «треугольник». Общая схема (а), к примеру (б)

 

Задача 1.6.2.

Рассмотрим пример (рис.1.6.3б) расчетов комплексных токов при следующих параметрах элементов:

В,  Ом,  Ом,  Ом.

(1.6.7)

Из выражений (1.5.3) следуют комплексные фазные (они же – линейные) напряжения:

В;  В;  В.

(1.6.8)

Фазные токи по закону Ома равны:

А;  А;  А.

(1.6.9)

Линейные токи по I закону Кирхгофа равны:

(1.6.10)

По I-му закону Кирхгофа для узла N сумма комплексных линейных токов должна равняться нулю:

.

(1.6.11)

Потенциальная и векторная диаграмма токов представлена на рис.1.6.4. Векторы линейных токов I_A, I_B и I_C построены дважды. По комплексным значениям, полученным в (1.6.10), из начала координат комплексной плоскости (точка N). И второй раз из точек A, B и С как разности векторов фазных токов по формулам (1.6.10)

 

Схемы включения приемников энергии «четырехпроводная звезда» и «треугольник», имеют важное достоинство в том, что фазные токи и напряжения зависят от сопротивления своих фаз. Нет взаимной зависимости между фазами. Поэтому они могут быть использованы как для трехфазных, так и для однофазных приемников.

Схемы включения приемников энергии «трехпроводная звезда» применима только для однофазных приемников.

3. Мощности приемников в трехфазных цепях

 

Для мощностей однофазных приемников в однофазных цепях были даны определения в занятии 1.3 (уравнения (1.3.11- 1.3.13)).

Эти уравнения справедливы в трехфазных цепях ([1], 3.7) для однофазных приемников и для отдельных фаз трехфазных приемников. Полная мощность трехфазного приемника определяется независимо от схемы их включения как сумма мощностей всех фазных приемников:

,

(1.6.12)

где k = 1…3 – индекс фазы.

Для трехфазных приемников, ввиду равенства , справедливо .

Активная и реактивная мощности, соответственно равны:

 и . Если известны активная R_k и реактивная X_k составляющие сопротивлений фазного приемника и действующий ток фазы I_k, то можно найти активную P_k и реактивную Q_k мощности фазного приемника с индексом k:

; .

Для увеличения мощности трехфазного приемника в 3 раза часто применяют переключение со схемы трехпроводная звезда, с фазным напряжением 220В на схему треугольник, в которой фазное напряжение приемника становится равным линейному 380 В.

Задание 1.6.1. Решить самостоятельно один вариант N_VAR задания по номеру в списке группы M: (см. (1.1.1), табл.1.1.2). Схемы для анализа приведены на рис.1.6.5. Заданы: действующее линейное напряжение U = 380 В и сопротивления R = 100 Ом. Определить действующие линейные и фазные токи (А) при замкнутом и разомкнутом ключе К. Построить потенциальную диаграмму и векторную диаграмму токов.

 

Рис. 1.6.5. К заданию 1.6.1.

 

Ответы к заданиям

 

1.3.1. По вариантам: 1.U = j70,71 В; 2. I = (18,7 + j21,21) А; 3. I = (1,87 – j2,12) А;. 4. E = (214,942 + j70,711) В.

1.3.2.

№ варианта	1	2	3	4
Мгновенная величина	Im = 42,4 А yi = 0,93 рад	Um = 70,7 В yu = 0,64 рад	Em = 212 В ye = -0,93 рад	Im = 141,4 А yi = -0,64 рад

1.4.1.

Вариант	1	2	3	4
Uout, В	10ej120°	10ej90°	10ej90°	10ej60°

1.4.2.

Вариант	1	2	3	4
I1, А	e-j60°	e-j30°	0,5 e-j60°	0,25 e-j30°
I2, А	0,5ej30°	0,5ej60°	0,25ej30°	0,5ej30°
UCD, В	0	0	5	e-j90°

1.5.1.

Вариант	1	2	3	4
InN при K = 1, А	34,5	16	22,4	16
InN при K = 0, А	18,8	11,4	2,1	38

1.6.1.

Вариант	0	1	2	3	4
IA, А	6,6	0	3,8	5,7	6,6
IB, А	6,6	5,7	3,8	0	3,8
IC, А	6,6	5,7	6,6	5,7	3,8
Iab, А	3,8	1,9	0	1,9	3,8
Ibc, А	3,8	3,8	3,8	1,9	0
Ica, А	3,8	1,9	3,8	3,8	3,8

 

Список рекомендованной литературы

 

1.     Электротехника и электроника. В 3 т. Том 1. Электрические и магнитные цепи : учебник и практикум для академического бакалавриата / Э. В. Кузнецов; под общ. ред. В. П. Лунина. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Издательство Юрайт, 2017 – 255 с.